[2015년 가좌고]

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[2학년(문과) 2학기 중간 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=2x^3 - 3x ^2 +5]의 극댓값을 [eqn: M], 극솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f ` prime (x)]의 그래프이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (-1,```0)]에서 감소한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 극대가 되는 점의 개수는 [eqn: 1]개다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극소이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=x^3 - 6x^2 +ax +3]이 열린 구간 [eqn: (-1,```3)]에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

닫힌 구간 [eqn: [-2,```2]]에서 함수 [eqn: f(x)=-x^3 +3x^2 +9x+a]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

③

① [eqn: 17]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 37]

곡선 [eqn: y=-x^2 +2]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값은?

④

① [eqn: sqrt6 over3]	② [eqn: {4sqrt6} over9]	③ [eqn: {2sqrt6} over3]

④ [eqn: {8sqrt6} over9]	⑤ [eqn: {4sqrt6} over3]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`prime (x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f(0)=1], [eqn: f(2)=3]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=k]가 서로 다른 두 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 가지기 위한 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 [eqn: alpha < k <beta]라 하자. 이 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

방정식 [eqn: 2x^3 - 5=6x+k]가 서로 다른 세 실근을 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

③

① [eqn: -1 < k<9]	② [eqn: k< - 9] 또는 [eqn: k>-1]	③ [eqn: -9 < k < -1]	④ [eqn: k<1] 또는 [eqn: k>9]

⑤ [eqn: 1<k<9]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^4 - 4x + 5 >k]가 성립하기 위한 정수 [eqn: k]의 최댓값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

지상 [eqn: 25 rm m]의 높이에서 [eqn: 20 rm m/s]의 속도로 똑바로 위로 쏘아 올린 물 로켓의 [eqn: t]초 후의 높이 [eqn: x rmm]가 [eqn: x=-5t^2 +20t+25]일 때, 물 로켓이 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간을 [eqn: a]초, 그 최고 높이를 [eqn: b rmm]라고 할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

⑤

① [eqn: 39]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 47]

키가 [eqn: 1.8rmm]인 선운이가 지면으로부터의 높이가 [eqn: 4.5rmm]인 가로등 바로 밑에서 출발하여 일직선으로 초속 [eqn: 1.5rmm]의 속도로 걸어가고 있을 때, 선운이의 그림자의 끝이 움직이는 속도는? (단, 단위는 [eqn: rmm/s]이다.)

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 1.5]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2.5]	⑤ [eqn: 3]

반지름의 길이가 [eqn: 50 rmcm]인 반구 모양의 용기에 수면의 높이가 매초 [eqn: 2rmcm]로 일정하게 높아지도록 물을 채우려고 한다. 물을 넣기 시작한지 [eqn: 20]초가 되는 순간, 수면의 넓이의 변화율은?

④

① [eqn: 10pi]	② [eqn: 20pi]	③ [eqn: 30pi]

④ [eqn: 40pi]	⑤ [eqn: 50pi]

다음 부정적분을 구하면?[eqn: int _{ `} ^{` } { (-x^2 +2x-5)dx}] (단, [eqn: C]는 적분상수)

②

① [eqn: - 1 over 3 x^3 + x^2 + 5x +C]	② [eqn: - 1 over 3 x^3 + x^2 - 5x +C]

③ [eqn: - 1 over 3 x^3 + 2x^2 -5x +C]	④ [eqn: - 1 over 4 x^3 + x^2 - 5x +C]

⑤ [eqn: - 1 over 4 x^3 + x^2 + 5x +C]

이차함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 할 때,
[eqn: F(x)= xf(x)+x^3 -x^2 +3]
이 성립한다. [eqn: f(0)=2]일 때, [eqn: f(4)]의 값은?

②

① [eqn: -16]	② [eqn: -14]	③ [eqn: -12]

④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -8]

함수 [eqn: f(x)=ax^2 +bx+c]가 (가), (나) 두 조건을 모두 만족할 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 실수)

①

(가) [eqn: lim _{x ->inf}{ { f`prime (x) }over x}=2]

(나) [eqn: lim _{ x->1 }{ { {f(x)}over x-1}=1]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f_n (x)= int _{` } ^{`} {(1+2x+3x^2 +`cdots `+nx^n-1 )dx }]에 대하여
[eqn: f_n (0)=2]일 때, [eqn: f_10 (2)]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수)

②

① [eqn: 2^10]	② [eqn: 2^11]	③ [eqn: 2^12]

④ [eqn: 2^13]	⑤ [eqn: 2^14]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가
[eqn: f`prime (x)= cases{ 2x-1&(x GEQ 1) # 1& `(x<1)}]이고 [eqn: f(0)=2]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

함수 [eqn: f(x)=x^3 + ax^2 +bx+3]이 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: 8]을 가질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]값과 극솟값을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

[eqn: a=-3], [eqn: b=-9], 극소 [eqn: -24]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 -2ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라고 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 구간 [eqn: (3,``` inf)]에서 감소할 때, 실수 [eqn: a]의 범위를 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

[eqn: a ge-9]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`prime (x)]는 이차함수이고 [eqn: y=f`prime (x)]의 그래프는 다음 그림과 같다. [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

[eqn: 8over3]

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r]이고 높이가 [eqn: h]인 원뿔의 부피를 구분구적법으로 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

밑면이 바닥에 접하도록 놓고 밑면에 평행한 평면으로

높이 [eqn: h]를 [eqn: n]등분하자. 각각의 구간에서 원뿔의 잘린

단면을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: {h} over {n}]인 원기둥을 생각하자.

위에서부터 [eqn: k]번째 원기둥의 부피는 [eqn: pi LEFT ( r {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {h} over {n} =pir^2 h { k^2} over {n^3 }]이다.

모두 합한 후 [eqn: n->inf]를 취하면 [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n pir^2 h { k^2} over {n^3 }= { 1} over { 3}pir^2 h]

[2015년 가좌고]

[2학년(문과) 2학기 중간 미적분1]

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